Filsafat Geometri (Aspek Ilmu Pasti)

Geometri merupakan salah satu aspek matematika di samping aljabar, statistika dan peluang, logika, trigonometri, dan kalkulus. Dalam pembelajaran matematika di sekolah, geometri lebih berkenaan dengan bangun-bangun geometri, garis dan sudut, kesebangunan, kekongruenan, transformasi, dan geometri analitis. Geometri merupakan belahan dari matematika yang mempelajari pola-pola visual, yang akan menghubungkan matematika dengan dunia nyata. Geometri juga sanggup dipandang sebagai sistem matematika yang menyajikan fenomena yang bersifat ajaib (tidak nyata), akan tetapi dalam pembelajarannya sedikit demi sedikit didahului dengan benda-benda kongkret sebagai media sesuai dengan tahap perkembangan anak.
Kata geometri berasal dari bahasa Yunani (greek) yang berarti ukuran bumi. Maksudnya meliputi mengukur segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian dimulai dari pengukuran mudah yang diharapkan untuk pertanian orang – orang Babylonia dan Mesir. Kemudian geometri orang Mesir dan Babyloni ini diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volume. Menurut kamus Bahasa Indonesia, “Geometri” merupakan cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang; atau geometri juga berarti ilmu ukur.
Obyek geometri merupakan hal yang ajaib yang tidak sanggup diraba, dipegang, atau diamati secara pribadi melalui panca indera. Misalnya bila kita menunjuk sebuah persegipanjang dan kemudian menggambarkan atau membuatnya dengan mnggunakan lidi atau kawat, sesungguhnya itu bukanlah persegipanjang yang dimaksudkan di dalam geometri. Ia hanyalah sebuah model persegipanjang. Sedangkan persegipanjang bahwasanya hanya ada dalam alam pikir manusia. Siapa yang bisa tetapkan seberapa besar garis atau sisi sebuah persegipanjang. Demikian pula bagaimana dengan ketebalan sebuah persegipanjang. Hal-hal tersebut tak pernah terungkap di dikala membicarakan persegipanjang dan juga benda-benda geometri yang lainnya. Akan tetapi mereka ada dan sanggup dipelajari sebagai bahan matematika yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari dan juga dalam pengembangan ilmu dan teknologi.
Permulaan Geometri
Pada awalnya geometri yang lahir dan berkembang di Mesir dan Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan impian para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan bangunan yang kokoh dan besar. Teknik-teknik geometri yang berkembang pada masa itu pada umumnya masih bergairah dan bersifat intuitif, akan tetapi cukup akurat dan sanggup memenuhi kebutuhan perhitungan. Berbagai fakta wacana teknik-teknik geometri dikala itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada kala ke-9. Dalam Papirus ini terdapat formula wacana perhitungan luas kawasan suatu persegipanjang, segitiga siku-siku, trapesium yang memiliki kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula wacana pendekatan perhitungan luas lingkaran.
Matematikawan yang pertama kali tidak puas terhadap metode yang didasari semata-mata pada pengalaman ialah Thales (640 – 546 SM). Sehingga masyarakat kini menghargai Thales sebagai orang yang selalu berkata ”Buktikan itu!” dan bahkan ia selalau melaksanakan pembuktian tersebut (Wakyudin, 2004: 137).
Sepeninggal Thales muncullah Pythagoras (582 – 507 SM) berikut pengikutnya yang dikenal dengan sebutan Pythagorean melanjutkan lengkah Thales. Para Pythagorean memakai metode pembuktian untuk menandakan Teorema Pythagoras dan teorema-teorema jumlah sudut dalam suatu poligon, sifat-sifat dari garis-garis yang sejajar, teorema wacana jumlah-jumlah yang tidak sanggup diperbandingkan, serta teorema wacana lima berdiri padat beraturan.
Hasil kerja dan prinsip Thales telah menandai awal dari sebuah era kemajuan matematika yang membuatkan pembuktian deduktif sebagai alasan logis yang sanggup diterima. Pembuktian deduktif diharapkan untuk menurunkan teorema dari postulat dan selanjutnya untuk disusun pernyataan gres yang logis. Pengembangan pembuktian deduktif mencapai puncaknya dengan lahirnya buku karya Euclid yang diberi judul Element.
Element menjadi sebuah karya yang maha penting dalam sejarah masyarakat dunia yang kebanyakan dari pekerjaan itu bersifat oroginal, sebagai metode deduktif dengan mendemonstrasikan sebagaian besar pengetahuan yang diharapkan melalui penalaran. Teorema ke-5 dalam buku ini cukup dikenal, yaitu sudut ganjal dalam sebuah segitiga samakaki (isosceles) ialah kongruen. Metode yang kini lebih sering dipakai untuk menandakan teorema ini memerlukan konstrukti suatu garis bagi sudut melalui titik sudutnya.
Dalam buku Element, Euclid menulis banyak pembuktian dari teori-teori yang sudah terkenal. Karya Euclid sangat kuat hingga dikala ini sehingga dalam geometri untuk garis, titik, bentuk, dan bidang-bidang namanya dipakai sebagai ”geometri Euclid”.
Demikian selanjutnya, selama lebih kurang empat kala terakhir Element telah mengalami kritikan dan kebanggaan hingga lambat laun lebih disempurnakan. Hasil dari banyak sekali penyempurnaan itu lahirlah geometri analitik, geometri projektif, topologi, geometri non-Euclid, logika, dan kalkulus.
Tujuan, Ruang Lingkup dan Objek Geometri
Geometri merupakan salah satu aspek mata pelajaran Matematika di sekolah, di samping aspek bilangan, aljabar, statistika dan peluang, logika, trigonometri, dan kalkulus.
Salah satu tujuan diajarkannya geometri di sekolah, berdasarkan Suydan dalam Kusni (1999 : 3) ialah membuatkan kemampuan berpikir logis. Berkaitan dengan tujuan ini, pengenalan geometri memiliki tujuan dasar untuk menunjukkan kesempatan siswa menganalisis lebih jauh dunia tempat hidupnya serta menunjukkan semenjak dini landasan berupa konsep-konsep dan peristilahan yang diharapkan pada pendidikan jenjang berikutnya. Menurut Kusni, dengan mempelajari geometri sekaligus sanggup menumbuhkembangkan kesenangan intelektual yang sesungguhnya terhadap matematika.
Geometri menjadi bahan penting sebab melibatkan kemampuan kognitif siswa. Soemadi (2000: 1) menyampaikan bahwa intinya tujuan geometri ialah membuatkan kemampuan berpikir logis, mengajar membaca dan menginterprestasikan argumen-argumen matematika, menanamkan pengetahuan (geometri) yang diharapkan untuk studi lanjut dan membuatkan kemampuan keruangan.
Idealnya, pembelajaran geometri tidak hanya meliputi aspek-aspek formal yang diharapkan untuk sekolah menengah, melainkan juga memfokuskan pada lingkungan fisik siswa. Siswa diberi kesempatan menyelidiki, mencoba, menemukan, menduga banyak sekali ide, dan didorong untuk merumuskan pernyataan yang tepat, logis, serta mengusut kebenaran kesimpulan.
Permasalahan yang kemudian muncul dalam pembelajaran geometri diantaranya ialah berkaitan dengan objek geometri ialah benda-benda pikir yang abstrak, sedangkan tingkat perkembangan berpikir siswa berpikir secara kongkret.
Menurut Piaget dalam Ruseffendi (1994 : 19), tahap pertama anak berguru geometri ialah topologis. Mereka belum mengenal jarak, belum mengenal kelurusan, dan semacamnya. Mereka gres mengenal apakah sesuatu itu ada di dalam atau ada di luar. Demikian pula pada tahap berpikir kongkrit ke bawah bawah umur masih memerlukan dukungan benda-benda kongkret. Menurut Van Hiele dalam Ruseffendi, berdasarkan hasil penemuannya mengemukakan bahwa siswa berguru geometri melalui 5 tahap : pengenalan, analisis, pengurutan, deduksi, dan keakuratan. Agar siswa berguru geometri dengan mengerti, mereka harus memahami tahap-tahap yang lebih rendah terlebih dahulu.
Memperhatikan tingkat perkembangan berpikir siswa dari berpikir secara kongkret menuju tingkat berpikir abstrak, maka teknik pembelajaran pada masing-masing jenjang pendidikan menjadi berbeda. Sedangkan ruang lingkup bahan geometri tersebut mungkin bisa sama. Misalnya bahan berdiri datar, telah dipelajari dari jenjang SD, SMP, SMA, dan hingga perguruan tinggi tinggi terus berubah menjadi geometri analit datar. Ruang lingkup bahan wacana berdiri datar, akan tetapi cara penyampaian dan tingkat kedetailannya berbeda dari satu jenjang ke jenjang berikutnya.
Secara umum ruang lingkup geometri ialah mengenai garis dan sudut, bangun-bangun datar, bangun-bangun ruang, kesimetrian, kesebangunan, kekongruenan, dan geometri analitis. Dalam perkembangannya, geometri ibarat lebih merujuk ke bentuk-bentuk yang sudah niscaya ibarat segitiga, segiempat, lingkaran, berdiri ruang ibarat kubus, balok, prisma, bola dan sebaginya. Di dalam bentuk-bentuk ini terdapat rumus-rumus yang mendasarinya. Termasuk juga penerapannya dalam sistem koordinat Cartesius baik untuk dimensi dua ataupun dimensi tiga.
Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika menengah, sebab banyaknya konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Dari sudut pandang psikologi, geometri merupakan penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan spasial, contohnya bidang, pola, pengukuran dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk pemecahan masalah, contohnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi. Geometri juga merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika.
Usiskin mengemukakan bahwa:
1. geometri ialah cabang matematika yang mempelajari pola-pola visual,
2. geometri ialah cabang matematika yang menghubungkan matematika dengan dunia fisik atau dunia nyata,
3. geometri ialah suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan
4. geometri ialah suatu pola sistem matematika.
Tujuan pembelajaran geometri ialah semoga siswa memperoleh rasa percaya diri mengenai kemampuan matematikanya, menjadi pemecah problem yang baik, sanggup berkomunikasi secara matematik, dan sanggup bernalar secara matematik. Sedangkan Budiarto menyatakan bahwa tujuan pembelajaran geometri ialah untuk membuatkan kemampuan berpikir logis, membuatkan intuisi keruangan, menanamkan pengetahuan untuk menunjang bahan yang lain, dan sanggup membaca serta menginterpretasikan argumen-argumen matematik.